いいえいいえ

Literal: Não, muito não cai [chuva].

Resposta curta começando com いいえ ('não'). O par あまり... ません expressa 'não muito / não tanto': あまり é um advérbio que, combinado com um verbo no negativo, significa 'não... muito'. 降る ('cair', usado para chuva/neve) está na forma educada negativa 降りません. Por contexto (sem sujeito explícito), trata-se da chuva: 'não chove muito'.

Literal: Não, no-começo número 9 em(o) honorífico-discar faça-o-favor.

Começa com a interjeição いいえ ('não'). はじめに ('no início, primeiro') usa o substantivo はじめ + partícula に de tempo, funcionando como advérbio. ９番に é 'ao número 9', com に marcando o alvo da ação. A parte central お〜ください é uma fórmula de pedido educado: prefixo honorífico お + raiz do verbo かける ('discar') + 下さい ('por favor faça'), ou seja, 'queira discar'.

Literal: Não, [eu] não sei. Algum dia[se eu] não memorizar [não dá]...

Duas orações. A primeira é a negação educada 知らないです ('não sei'), 知る no negativo informal 知らない + です. A segunda usa 覚えなければ, que é a forma condicional negativa de 覚える ('memorizar/aprender'): 覚えなければ literalmente 'se [eu] não memorizar...'. A frase termina aí, deixando subentendido...ならない/...いけない ('não dá', 'não posso deixar de'), padrão coloquial muito comum para dizer 'preciso/tenho que'.

Literal: Não, está bem (assim). Porque estou apenas olhando.

Na primeira parte, いいえ ('não') seguido de けっこうです é uma recusa educada: 'não, está bem assim / dispenso, obrigado', uso polido do foco gramatical けっこう. Na segunda parte, 見ている (estou olhando, forma 〜ている progressiva) é limitado por だけ ('apenas') e a frase termina em ですから, dando a razão: 'porque estou só olhando'.