安心あんしん

Literal: A carta tendo chegado, (eu) me tranquilizei.

São duas ações encadeadas pela forma て. Na primeira, 手紙が届いて ('a carta chegou e...'), が marca 手紙 como sujeito do verbo intransitivo 届く (chegar), que vira 届いて para conectar. A segunda parte, 安心した, é 安心する (sentir-se aliviado) no passado. O て aqui dá ideia de causa/sequência: a chegada da carta provocou o alívio.

Literal: Com só ouvir a voz, fico tranquilo.

Esta frase usa 〜だけで no sentido de 'só de fazer X (já acontece Y)'. 声を聞く ('ouvir a voz') recebe だけ ('só') e で marca essa ação como o gatilho/condição que basta para o efeito seguinte. O resultado é 安心する ('sentir-se aliviado/tranquilo'). É exatamente o padrão-alvo 〜だけで ligando uma ação mínima a uma consequência.

Literal: Quanto a você, se (você) existe/está, (eu) me tranquilizo.

A frase usa a estrutura condicional 〜と: 'あなたがいる' (você está/existe) marcado pela partícula と indica uma condição cujo resultado natural é '安心する' (sentir-se tranquilo). O verbo いる é o 'estar/existir' usado para seres vivos. 安心する é o substantivo 安心 (tranquilidade) transformado em verbo com する. O sujeito de 安心する fica subentendido (o falante).

Literal: Já saiu do hospital, por isso fique tranquilo.

São duas orações ligadas por から (causa: 'porque/então'). A primeira, 退院した, é o verbo 退院する no passado simples (した = forma passada de する), dizendo que a alta já aconteceu (reforçada por もう, 'já'). A segunda, 安心して, é a forma て de 安心する (ficar tranquilo) usada sozinha como pedido/sugestão casual: 'fique tranquilo'.

Literal: Quanto à mãe, tendo ouvido o resultado, (ela) se tranquilizou.

A oração 'X を聞いて' usa a forma て do verbo 聞く (ouvir) para encadear ações: primeiro 'ouvir o resultado', depois a consequência. 母は é o tópico/sujeito principal marcado por は. 安心した é 安心する no passado (した = forma passada de する), aqui melhor traduzido como 'ficou aliviada'.